TD N°7

ASSERVISSEMENT DE TEMPÉRATURE AVEC CORRECTEUR PI

Le but est d'améliorer les performances en précision et rapidité du TD4 grâce à un correcteur PI.

Pour rappel :

  • Pour une consigne correspondant à 50°C, la température en régime établi était de 45,5°C

  • Pour une élévation de 10°C de la température ambiante, la température de l'enceinte augmentait de 0,9°C

I. - Correction proportionnelle C(p)=A

L'objectif est d'optimiser le fonctionnement en boucle fermée.

Pour cela, nous allons déterminer la valeur de A permettant d'assurer une marge de phase \( \varphi_m\) = 70°

Question

I.1 - Pour un gain proportionnel C( p)= A, déterminer l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte \(H_{bo}(j\omega)=\frac{V_m(p)}{\varepsilon(p)}\) sous forme littérale puis numérique

Solution

\(H_{bo}(j\omega)=\frac{AK_1R_{th}K_t}{(1+\mathcal{T}_1 j\omega)(1+\mathcal{T}_2j\omega)}\)=\(\large\frac{10 A}{(1+\mathcal{T}_1 j\omega) (1+\mathcal{T}_2j\omega)}\)

Question

I.2 - Pour une marge de phase \( \varphi_m\) = 70°, quel doit-être l'argument de \(H_{bo}(j\omega)\) ?

Exprimer mathématiquement cette équation

En utilisant la formule mathématique \(arctg(a)+arctg(b)=arctg(\large\frac{a+b}{1-ab})\), établir l'équation du second degré en \(\omega\) traduisant notre condition

Déterminer alors la pulsation \(\omega_{0dB}\) pour laquelle le module de  \(H_{bo}(j\omega)\) devra valoir 1 (0dB) ; bien entendu on conservera la racine positive.

Solution

L'argument de \(H_{bo}(j\omega)\) doit être égal à \(-180^\circ +\varphi_m=-110^\circ\)

Donc \(-(arctg(\omega_{0dB} \mathcal{T}_1)+arctg(\omega_{0dB} \mathcal{T}_2))=-110^\circ\)

\(arctg(\frac{\omega_{0dB} (\tau_2+\mathcal{T}_1)}{1-\omega_{0dB}^2\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2})=110^\circ\)

\(\frac{\omega_{0dB} (\mathcal{T}_2+\mathcal{T}_1)}{1-\omega_{0dB}^2\mathcal{T}_1\mathcal{T}_2}=tg(110^\circ)=-2.75\)

\(... 600\omega^2 -219 \omega -2.75=0\)

La seule racine positive est \(\omega_{0dB}=0.377 rad/s\)

Question

I.3 -Calculer alors le module de \(H_{bo}(j\omega_{0dB})\) en fonction de A

Ce module doit valoir 1, quelle-est la valeur A du gain proportionnel assurant une marge de phase \( \varphi_m\) = 70° ?

Solution

\(|H_{bo}(j\omega_{0dB})|=\frac{10 A}{\sqrt{1+218^2\times0.377^2}\sqrt{1+0.377^2}}=0.114\times A\)

A=8.8

Question

I.4 -Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée\(H_{bf}(p)\) pour la valeur de A déterminée précédemment.

Calculer alors la température finale de sortie \(\theta_f\) pour un échelon de consigne de 5 V

Solution

\(H_{bf}(p)=9.89 \frac{1}{1+2.46p+2.45p^2}\)

\(\theta_f=5\times9.89=49.45 ^\circ C\) au lieu de \(50^\circ C\)

II - Correction proportionnelle-intégrale

L'objectif est de déterminer une constante de temps intégrale \(\mathcal{T}_i\) assurant une bonne précision sans trop dégrader la stabilité

Question

II.1 - Pour le gain A calculé précédemment, déterminer la constante de temps \(\mathcal{T}_i\) d'un correcteur intégral adapté au système et permettant de conserver une marge de phase au moins égale à 65°.

Quelle sera la température de sortie en régime établi pour un échelon de consigne de 50°C ?

Solution

L'apport du terme \(\frac{1+\tau_ip}{\tau_ip}\) fait perdre 5° à l'argument de Hbo(p) pour la pulsation ω0dB (voir Q1.4) puisque la marge de phase passe de 70° à 65°

Donc \(Arg(\frac{1+j\mathcal{T}_i\omega_{0dB}}{j\mathcal{T}_i\omega_{0dB}})=-5°\)

\(\Rightarrow arctg(\mathcal{T}_i\omega_{0dB})-90°=-5°\)

\(\Rightarrow \mathcal{T}_i\omega_{0dB}=tg 85°\)

\(\Rightarrow \mathcal{T}_i=\frac{11.43}{0.377}=30s\)

III - Correction proportionnelle-intégrale-dérivée

L'action dérivée peut améliorer la rapidité et la stabilité, elle est néanmoins sensible aux parasites et son utilisation dégrade la robustesse du système

On ne fera pas de détermination théorique de la constante de temps \(\mathcal{T}_d\) adaptée,

J'ai utilisé la méthode purement empirique qui consiste à augmenter \(\mathcal{T}_d\) à partir de 0 jusqu'à obtenir un bon compromis

Les réponses des 3 types de correcteur sont illustrées sur la figure suivante .

  • Sans correcteur la réponse est très lente et l'erreur en régime établi est importante

  • Avec notre correcteur P, la réponse est rapide, il y a une légère erreur en régime établi

  • Avec notre correcteur PI, la réponse est ralentie par le dépassement, l'erreur est nulle en régime établi

  • Avec un correcteur PID, le dépassement est limité, l'erreur est toujours nulle... Mais le système est moins robuste (plus sensible aux variations de paramètres)

VOILA UNE BONNE CONCLUSION POUR CETTE PARTIE !