Exemple
Signal carré
Déterminons les coefficients de Fourier d'un signal carré :
La valeur moyenne du signal est nulle → a0=0
Le signal a une parité impaire → les coefficients an sont nuls
Le signal présente une symétrie par rapport à la demi-période → pas de coefficient pairs
Calculons les coefficients bn, pour n impair :
bn=\(\displaystyle{\frac{2}{\frac{2 \pi}{\omega}}\int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega}} i(t) sin(n \frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{\omega}} t) dt\)
bn=\(\displaystyle{\frac{\omega}{\pi}\int_{-\pi/\omega}^{\pi/\omega}} i(t) sin(n \omega t) dt\)
On remarque que i(t) et le sinus sont des fonctions impaires,
Il suffit donc d'intégrer entre 0 et π/ω et de multiplier par 2 :
bn=\(\displaystyle{\frac{2\omega}{\pi}\int_{-0}^{\pi/\omega}} i(t) sin(n \omega t) dt\)
Entre 0 et π/ω le courant est constant et vaux Im :
bn=\(\displaystyle{\frac{2~Im~\omega}{\pi}\int_{-0}^{\pi/\omega}} sin(n \omega t) dt\)
l'intégrale est simple à déterminer :
bn=\(\displaystyle{\frac{2~Im~\omega}{\pi}}~ \frac{1}{n~\omega}~[-cos(n~\omega~t)]_{0}^{\pi/\omega}\)
bn=\(\displaystyle{\frac{2~Im~\omega}{\pi}}~ \frac{1}{n~\omega}~(-cos(n~\omega~\frac{\pi}{\omega})+cos(0))\)
cos (n π) pour n impair vaut -1
Et donc :
\(\boxed{b_n=\frac{4~Im~}{\pi~n}}\) pour tous les n impairs
et bn vaut 0 pour tous les n pairs